Расчётно-графическая работа По дисциплине: Теория случайных процессов Вариант 10
Факультет экономики и менеджмента
Кафедра
Экономической кибернетики
Расчётно-графическая работа По дисциплине: Теория случайных процессов Вариант 10
Симферополь, 2008
Задание
Для изучения надежности работы банкомата рассмотрим модель, в которой учитываются три возможных состояния:
S1 – счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации,
S2 – счетчик исправен и находится в состоянии эксплуатации,
S3 – счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.
Плотности вероятности перехода практически не зависят от времени.
Требуется составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и решить задачу Коши, найти вероятности состояния банкомата в момент времени t = 1, если в начальный момент времени t = 0, он находился в состоянии S2, матрица плотностей вероятностей перехода задана:
Решение:
1. Изобразим размеченный граф состояний системы:
P1(t) P2(t) P3(t)
В начальный момент времени t = 0 вектор начального распределения вероятностей имеет следующий вид:
или 
2. Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
Так как ни в одном из трех уравнений системы не присутствует 
, то для решения системы достаточно будет использовать два уравнения:
3. Произведем замену и подставим новые переменные в уравнение:
Получаем:
Делим оба уравнения системы на элемент 
(> 0). Получаем:
Группируем элементы уравнений:
Составим определитель матрицы коэффициентов при неизвестных значениях 
и 
Определитель матрицы равен нулю.
Получаем:
Найденные значения 
и 
подставляем в систему уравнений (1.6).
А) При подстановке =
:
Выразим 
через И через :
, = 1
, = 
Итог: 
= 1, = .
Б) При подстановке =
:
Выразим через И через :
, = 1
, = 
Итог: = 1, = .
4. Подставим , и найденные значения и 
в систему (1.4). Получаем две системы:
5. Общее решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова примет вид:
Для решения задачи Коши необходимо задать вектор начального распределения вероятностей. По условию в момент времени t = 0 банкомат находился в состоянии S2.
Вектор начального распределения вероятностей имеет вид:
Тогда система уравнений 1.9 примет вид:
В ходе решения системы уравнений (2.1) получаем следующие значения:
Подставляем найденные значения 
и 
в систему (1.9).
Включим в систему (2.3) уравнение 
. находим из условия (1.2).
В момент времени t = 1 вероятности состояний примут такие значения:
Вывод:
Наиболее вероятным состоянием банкомата в момент времени t = 1 будет состояние S1, т. е. счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации.
