Расчётно-графическая работа По дисциплине: Теория случайных процессов Вариант №21
Факультет экономики и менеджмента
Кафедра
Экономической кибернетики
Расчётно-графическая работа По дисциплине: Теория случайных процессов Вариант №21
Задание
Для изучения надежности работы банкомата рассмотрим модель, в которой учитываются три возможных состояния:
S1 – счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации,
S2 – счетчик исправен и находится в состоянии эксплуатации,
S3 – счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.
Плотности вероятности перехода практически не зависят от времени.
Требуется составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и решить задачу Коши, найти вероятности состояния банкомата в момент времени t = 1, если в начальный момент времени t = 0, он находился в состоянии S2, матрица плотностей вероятностей перехода задана:


Решение
1. Изобразим размеченный граф состояний системы:
P1(t) P2(t) P3(t)
В начальный момент времени t = 0 вектор начального распределения вероятностей имеет следующий вид:

или 
2. Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:


Так как ни в одном из трех уравнений системы не присутствует
, то для решения системы достаточно будет использовать два уравнения:

3. Произведем замену и подставим новые переменные в уравнение:


Получаем:


Делим оба уравнения системы на элемент
(
> 0). Получаем:

Группируем элементы уравнений:

Составим определитель матрицы коэффициентов при неизвестных значениях
и 
Определитель матрицы равен нулю.

Получаем:



Найденные значения
и
подставляем в систему уравнений (1.6).
А) При подстановке
=
:


Выразим
через
И
через
:
,
= 1
,
= 
Итог:
= 1,
=
.
Б) При подстановке 
:


Выразим
через
И
через
:
,
= 1
,
= 
Итог:
= 1,
=
.
4. Подставим
,
и найденные значения
и
в систему (1.4). Получаем две системы:


5. Общее решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова примет вид:

Для решения задачи Коши необходимо задать вектор начального распределения вероятностей. По условию в момент времени t = 0 банкомат находился в состоянии S2.
Вектор начального распределения вероятностей имеет вид:

Тогда система уравнений 1.9 примет вид:



В ходе решения системы уравнений (2.1) получаем следующие значения:

Подставляем найденные значения
и
в систему (1.9).

Включим в систему (2.3) уравнение
.
находим из условия (1.2).



В момент времени t = 1 вероятности состояний примут такие значения:


Вывод.
Наиболее вероятным состоянием банкомата в момент времени t = 1 будет состояние S1, т. е. счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.