Лекция ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Страница 8 из 9

78. Некоторые типы случайных процессов. Процесс Бернулли.

1). Процесс Бернулли – это процесс с непрерывными пространствами параметров и состояний.

2). Пусть и – соответственно вероятности появления успеха или неуспеха в каждом испытании. Обозначим – количество успехов в испытаниях. Ясно что – случайный процесс с пространством состояний , одномерное распределение вероятностей которого для данного определяется как: , . Процесс , определяемый согласно (13), называется процессом Бернулли.

3). Процесс Бернулли обладает свойством: в любом конечном промежутке времени с положительной вероятностью может появиться сколь угодно большое число заявок.

4). – длина дискретного интервала времени между двумя последовательными успехами в случайном процессе Бернулли. Тогда: , , и при этом случайные величины линейно зависимы и одинаково распределены.

5). Процесс Бернулли – это процесс восстановления с дискретным временем. Кроме того, процесс Бернулли является процессом с независимыми приращениями. Отсюда следует, что он не является марковским.

79. Некоторые типы случайных процессов. Процесс Бернулли.

1). Процесс Бернулли является процессом с линейно связанными приращениями.

2). Процесс Бернулли не обладает марковским свойством.

3). Моментные характеристи процесса Бернулли имеют вид: , , .

4). Процесс Бернулли не является процессом восстановления.

5). Невозможно определить процесс Бернулли для случая непрерывного времени.

80. Некоторые типы случайных процессов. Процесс Пуассона.

1). Моментные характеристики процесса Пуассона имеют вид: , , .

2). Процесс Пуассона является процессом с дискретным пространством состояний И дискретным временем.

3). Промежутки времени между двумя последовательными появлениями событиями в пуассоновском процессе суть н. о.р. с. в. с постоянной плотностью распределения.

4). Пуассоновский процесс не является процессом восстановления.

5). Пуассоновский процесс в силу независимости приращений, не обладает марковским свойством.

81. Простой пуассоновский процесс (простейший поток событий).

1). Отсутствие последействия: для любого конечного набора непересекающихся полуинтервалов времени число событий в них K1, …, Kn – функционально зависимые в совокупности случайные величины.

2). Стационарность: вероятность Pt, t+t(K) появления ровно K событий в интервале времени является функциональной зависимостью только от времени T, т. е. от его положения на оси времени: Pt, t+τ(K) = F(Pt(K)), K = 0, 1, 2,…

3). Ординарность: вероятность появления более одного события в интервале времени длиною T – величина, отличная на бесконечно малую относительно T от вероятности достоверного события.

4). Случайный процесс, отвечающий условиям стационарности, отсутствия последействия и ординарности, носит название простейшего потока событий или простого пуассоновского процесса.

5). Моментная функция математического ожидания пуассоновского процесса и не зависит от времени.

82. Пуассоновский процесс с переменной интенсивностью.

1). Функция математического ожидания: .

2). Корреляционная функция случайного процесса: , где .

3). Отказ от условия стационарности приводит к моделям пуассоновского процесса с переменной интенсивностью. Для такого точечного процесса — известная (неслучайная) функция времени, TÎ[0,¥).

4). Если интенсивность потока событий задана неслучайной интегрируемой функцией L(T) и поток отвечает условиям отсутствия последействия и ординарности, то он теряет свойства пуассоновского процесса.

5). Даже, если интенсивность сама является случайной функцией, например (в самом простом случае) интенсивность — случайная величина, принимающая одно из двух значений: с вероятностью P или с вероятностью Q = 1 – P, процесс остается быть пуассоновским.

83. Сложный пуассоновский процесс.

1). Введение в модель веса событий нетрудно осуществить, когда этот вес V является детерминированной величиной и одинаков для всех событий. В этом случае простой пуассоновский процесс превращается в взвешенный пуассоновский процесс Q(T), выражающий суммарный вес событий, происходящих за интервал времени [0, T), и принимающий значения, кратные V: Q(T) = V K(T).

2). Функция математического ожидания взвешенного пуассоновского процесса: MQ(T) = mK(T).

3). Корреляционная функция взвешенного пуассоновского процесса: RQ(T1,T2) = RK(T1,T2).

4). Сложный пуассоновский процесс представляет собой сумму неслучайного числа K(T) случайных величин Vi с равномерными распределениями и определяется равенством: .

5). Сложный пуассоновский процесс представляет собой сумму неслучайного числа K(T) случайных величин Vi с равномерными распределениями и определяется как линейная комбинация: , где .

84. Некоторые типы случайных процессов. Процесс Гаусса.

1). Гауссовский процесс – это вещественный случайный процесс , , любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, т. е. при любых ,,..., совместное распределение с. в. , ,..., имеет вид

Где , – матрица, обратная к .

2). Гауссовский процесс – это процесс с дискретными пространством состояний и пространством параметров .

3). Случайный процесс , является винеровским процессом, если это неоднородный гауссовский процесс с независимыми приращениями, для которого и , .

4). Виннеровский процесс не имеет стационарных независимых приращений.

5). Для любого заданного интервала с. в. распределена со средним и постоянной дисперсией. Величина называется коэффициентом сноса (дрейфа) процесса .

85. Стандартный винеровский процесс или процесс броуовского движения.

1). Приращения и винеровского процесса на любых непересекающихся интервалах времени , , являются линейно связанными.

2). Если – стандартный винеровский процесс, – процесс , не является винеровским.

3). Стандартным винеровским процессом, или процессом броуовского движения, называется гауссовский случайный процесс с непрерывным временем, моментными характеристиками , , , и выходящий из нуля, т. е. .

4). Если – стандартный винеровский процесс, – процесс , , не является винеровским.

5). Если – стандартный винеровский процесс, – процесс , где – любая положительная константа, не является винеровским.

ПП 2.8.Элементы теории надежности.

86. Определение надежности.

1). Надежность (Reliability) есть вероятность того, что система выполняет свои функции в соответствии с предъявляемыми требованиями в течение заданного интервала времени.

2). Обычно с понятием надежности связывается определенная вероятность того, что в фиксированные моменты времени , система работает нормально.

3). Надежность – это количественный показатель, а не свойство.

4). Предположим, что состояние системы в момент времени описывается случайным вектором . Тогда вероятность – есть надежность системы.

5). Если не производятся ремонты или замены отказавших элементов системы, то этого не достаточно, что бы говорить, что состояние системы в произвольный момент времени описывает поведение системы на всем интервале времени .

87. Мгновенная и интервальная готовности системы.

1). Предельная интервальная готовность – это математическое ожидание доли времени нормального функционирования на конечном интервале времени.

2). Интервальная готовность (interval availability) – математическое ожидание доли времени нормального функционирования системы в произвольные фиксированные моменты времени в течение заданного интервала времени.

3). Мгновенная готовность (pointwise availability) – математическое ожидание доли времени нормального функционирования системы в течение заданного интервала времени.

4). Предельная интервальная готовность – это коэффициент , где Среднее время безотказного функционирования системы, а Среднее время ремонта.

5). Предельная интервальная готовность и предельная интервальная надежность – это тождественные понятия.

88. Распределения времени безотказной работы. Дискретные распределения.

1). Среди дискретных распределений в теории надежности одним из основных является так называемое отрицательное биномиальное распределение Паскаля:

, ,

2). Для любой системы интенсивности отказов не могут быть описаны биномиальным распределением:

Где Положительные числа, ,

3). Для описания распределений времени безотказной работы используются: плотность вероятности (когда она существует), функция распределения и интенсивность отказов .