Лекция ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

68. Основные задачи теории массового обслуживания.

1). Относительная пропускная способность, или вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию не является характеристикой качества обслуживания заявок.

2). Абсолютная пропускная способность, или среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени – это вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию.

3). Абсолютная пропускная способность, или среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени – это вероятность отказа в обслуживании .

4). Абсолютная пропускная способность, или среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени – это среднее число занятых каналов .

5). Основными задачами теории массового обслуживания являются:

• определение количественных характеристик СМО,

• исследование зависимости этих характеристик от параметров входного потока и структуры самой системы.

69. Эффективность системы массового обслуживания.

1). При выборе оптимальных параметров СМО (обычно это – интенсивность входного потока требований, – интенсивность обслуживания, , и т. д.) по экономическому критерию можно использовать следующие функции потерь :

(а) для системы с отказами: ,

(б) для системы с ожиданием: .

(в) для смешанных систем: .

2). Среднее число требований в системе – это средняя длина очереди .

3). Коэффициент занятости системы – это среднее число требований в системе .

4). Среднее время ожидания заявки в очереди – это коэффициент простоя системы .

5). Коэффициент простоя и коэффициент занятости системы – это тождественные понятия, зависящие только от интенсивности входящего потока требований.

70. Одноканальная система с отказами.

1). В одноканальных СМО прибытие и уход заявок из системы в промежутке происходят в зависимости от развития процесса в промежутке .

2). В одноканальных СМО, где , – вероятности пребывания системы в состояниях и соответственно ( – канал обслуживания свободен, – канал занят), , .

3). Если обслуживание заявки продолжается в течение случайного промежутка времени, имеющего экспоненциальное распределение с параметром . Это означает, что если – количество заявок, обслуживание которых закончилось к моменту времени T, и они покинули систему, то – пуассоновский процесс с плотностью распределения .

4). В общем случае, уравнение может быть решено для интенсивности , зависящей от времени. Пусть – положительная константа. Тогда: .

5). Для – вероятности, что канал занят – получаем из .

71. Одноканальная система с ожиданием. Неустановившийся режим.

1). Для одноканальной системы с бесконечной очередью , уравнения Колмогорова принимают вид

,

, .

2). Пусть , где и – входящий и выходящий потоки заявок в одноканальной системе с ожиданием. Тогда , где ; , а , – число заявок в очереди.

3). Пусть , где и – входящий и выходящий потоки заявок в одноканальной системе с ожиданием. Тогда , где ; , а , – число заявок в очереди.

4). и – входящий и выходящий потоки заявок в одноканальной системе с ожиданием – случайные процессы, связанные линейной зависимостью.

5). Для процессов и – входящий и выходящий потоки заявок в одноканальной системе с ожиданием, связь имеет место и не является линейной.

72. Одноканальная система с ожиданием. Установившийся режим.

1). Вероятность отказа в обслуживании при неограниченной очереди:

.

2). Средняя длина очереди при неограниченной очереди: .

3). Для одноканальной системы с ожиданием в установившемся режиме:

, .

Таким образом, независимо от начального состояния системы, очередь за достаточно большое время становится при сколь угодно большой. При распределение длины очереди стремится к геометрическому, ,

4). Среднее число занятых каналов при неограниченной очереди: .

5). Среднее число заявок в системе с неограниченной очередью:

.

73. Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием. Предельные вероятности состояний.

1). Процесс изменения состояний системы описывается системой дифференциальных уравнений процесса гибели и размножения с параметрами , (), (), . Состояния системы: – система свободна, – заняты каналов (), – заняты все каналов, – все каналы заняты, в очереди заявок (), – все каналы и места в очереди заняты. Предельные вероятности:

, где .

2). Вероятность отказа в обслуживании для случая бесконечной очереди в многоканальной системе: .

3). Средняя длина очереди для случая бесконечной очереди в многоканальной системе: .

4). Среднее число заявок в системе для случая бесконечной очереди в многоканальной системе:

.

5). Среднее число занятых каналов для случая бесконечной очереди в многоканальной системе:

.

ПП 2.7. Некоторые классы случайных процессов.

74. Моментные характеристики случайных процессов

1). Ковариационная функция сл. п. – отрицательно определена: : .

2). Ковариационной функцией сл. п. называется функция

.

3). Для ковариационной функции сл. п. имеет место соотношение: .

4). Для ковариационной функции сл. п. имеет место соотношение: .

5). Взаимной ковариационной функцией процессов и называется функция

.

Если процессы и независимы, то их взаимная ковариационная функция равна нулю, .

75. Процессы восстановления.

1). Случайный процесс , , называется считающим, если его траектория есть монотонная функция с высотой ступенек, равной константе.

2). Пусть , , ..., ,... – моменты появления событий, описываемых процессом . Считающий процесс называется процессом восстановления, если с. в. , являются линейно связанными случайными величинами.

3). Для того, что бы процесс был процессом восстановления, необязательно, что бы он был считающим.

4). Пусть – число событий, появляющихся на интервале времени . Рассматривая появление события как результат некоторого эксперимента, определим семейство с. в. , т. е. случайный процесс, заданный на выборочном пространстве этого эксперимента. Процесс восстановления – это такой процесс, который восстанавливает сам себя в точках , т. е. – это число восстановлений за время .

5). Для считающего процесса , число точек восстановления – детерминировано.

76. Процессы восстановления. Простой процесс восстановления.

1). Процессы восстановления имеют место и в случае неоднородных потоков событий.

2). К процессам восстановления можно отнести все процессы, обладающие марковским свойством.

3). Простой процесс восстановления является эргодическим процессом.

4). Для простого процесса восстановления не существуют моментные функции ограниченной вариации.

5). Для потока однородных событий, интервалы времени между которыми образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с ф. р. , случайную величину равную числу событий в интервале времени и рассматриваемую как функцию t, называют простым процессом восстановления.

77. Процессы с некоррелированными и независимыми приращениями.

1). Случайный процесс называется процессом с некоррелированными (независимыми) приращениями, если его приращения и на непересекающихся интервалах времени и , (т. е. ) некоррелированы (независимы).

2). Для того, чтобы процесс был процессом с некоррелированными приращениями, необходимо и достаточно, чтобы его ковариационная функция определялась выражением , где – дисперсия процесса .

3). Процесс с независимыми приращениями не является марковским.

4). Процесс с независимыми приращениями не может не быть процессом с некоррелированными приращениями, а процесс с некоррелированными приращениями не может не быть процессом с независимыми приращениями.

5). Если процесс с независимыми приращениями имеет конечный момент второго порядка, то он заведомо не является процессом с некоррелированными приращениями.

• < Назад
• Вперёд >