Задачи Выпуклый анализ (примеры)

Пример 1. Доказать выпуклость множества .

Пусть , т. е. , . Тогда для любого имеем

. Следовательно, , , т. е. множество X выпукло.

Пример 2. Найти минимальное число A, при котором множество выпукло.

Как видно из рис. , при A= -31/27 множество X будет выпукло.

Пример 3. Доказать, что множество является выпуклым конусом. Изобразить этот конус.

Очевидно, что множество X — конус. Докажем, что X выпуклый конус. Действительно, для любых имеем (неравенство Коши-Буняковского и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим).

Т. е. . Таким образом, X — выпуклый конус.

Сечением конуса плоскостью является круг . Если , то получаем конус .

Пример 4. Записать уравнение гиперплоскости, отделяющей точку от множества , которое задается системой уравнений

Очевидно, что среди неравенств, задающих множество X, третье неравенство в точке не выполняется. Поэтому в качестве разделяющей (не строго) гиперплоскости можно взять гиперплоскость .

Пример 5. Записать уравнение гиперплоскости, опорной к множеству

В точке .

Функция является строго выпуклой, т. к. матрица вторых производных , а, значит, множество X выпукло. Тогда опорной гиперплоскостью к множеству X в точке Является, очевидно, касательная плоскость к границе множества X в точке , т. е. . Имеем и .

Пример 6. Записать уравнение гиперплоскости, разделяющей выпуклые множества , .

Ясно, что множества и пересекаются (касаются) в единственной точке . Поэтому разделяющей гиперплоскостью будет касательная прямая к графику функции в точке , т. е. прямая .