Расчётно-графическая работа По дисциплине: Теория случайных процессов Вариант №21

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра

Экономической кибернетики

Расчётно-графическая работа По дисциплине: Теория случайных процессов Вариант №21

Задание

Для изучения надежности работы банкомата рассмотрим модель, в которой учитываются три возможных состояния:

S1 – счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации,

S2 – счетчик исправен и находится в состоянии эксплуатации,

S3 – счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.

Плотности вероятности перехода практически не зависят от времени.

Требуется составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и решить задачу Коши, найти вероятности состояния банкомата в момент времени t = 1, если в начальный момент времени t = 0, он находился в состоянии S2, матрица плотностей вероятностей перехода задана:

Решение

1. Изобразим размеченный граф состояний системы:

P1(t) P2(t) P3(t)

В начальный момент времени t = 0 вектор начального распределения вероятностей имеет следующий вид:

или

2. Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

(1.1)

(1.2)

Так как ни в одном из трех уравнений системы не присутствует , то для решения системы достаточно будет использовать два уравнения:

(1.3)

3. Произведем замену и подставим новые переменные в уравнение:

(1.4)

Получаем:

(1.5)

Делим оба уравнения системы на элемент (> 0). Получаем:

Группируем элементы уравнений:

(1.6)

Составим определитель матрицы коэффициентов при неизвестных значениях и

Определитель матрицы равен нулю.

Получаем:

Найденные значения и подставляем в систему уравнений (1.6).

А) При подстановке =:

Выразим через И через :

, = 1

, =

Итог: = 1, = .

Б) При подстановке :

Выразим через И через :

, = 1

, =

Итог: = 1, = .

4. Подставим , и найденные значения и в систему (1.4). Получаем две системы:

(1.7)

(1.8)

5. Общее решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова примет вид:

(1.9)

Для решения задачи Коши необходимо задать вектор начального распределения вероятностей. По условию в момент времени t = 0 банкомат находился в состоянии S2.

Вектор начального распределения вероятностей имеет вид:

Тогда система уравнений 1.9 примет вид:

(2.0)

(2.1)

В ходе решения системы уравнений (2.1) получаем следующие значения:

(2.2)

Подставляем найденные значения и в систему (1.9).

(2.3)

Включим в систему (2.3) уравнение . находим из условия (1.2).

(2.4)

В момент времени t = 1 вероятности состояний примут такие значения:

Вывод.

Наиболее вероятным состоянием банкомата в момент времени t = 1 будет состояние S1, т. е. счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.