Лекция Формулы по статистике
Формулы по статистике
Содержание
Семестр 1_ 2
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации_ 2
Абсолютные, относительные, средние величины_ 2
Относительные величины_ 2
Средние величины_ 2
Статистические распределения и их характеристики_ 3
Показатели вариации (колеблемости) признака_ 4
Сложение дисперсий_ 4
Показатель асимметрии_ 5
Показатель эксцесса (островершинности) 5
Кривые распределения 5
Выборочное наблюдение 6
Формулы ошибок простой случайной выборки_ 7
Формулы для определения численности простой и случайной выборки_ 7
Типичная выборка_ 7
Серийная выборка_ 8
Малые выборки_ 8
Корреляционная связь_ 8
Уравнение регрессии_ 9
Ряды динамики_ 10
Показатели динамики_ 10
Средние показатели динамики_ 10
Тренды_ 11
Семестр 2 (Индексы) 11
Семестр 1
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации
Равный интервал, величина интервала - , M – число групп
Формула Стерджесса (величина интервала) - , N – число наблюдений
Абсолютные, относительные, средние величины
Относительные величины
Относительные величины (ОВ) динамики характеризуют изменение явления во времени. (Коэффициент роста)
Темп роста – с переменной базой - Yn – уровень явления за период (например, выпуск продукции по кварталам года)
С постоянной базой - , Yk – постоянная база сравнения
ОВ планового задания -
ОВ выполнения плана -
ОВ динамики -
ОВ структуры характеризуют долю отдельных частей в общем объеме совокупности (удельный вес) -
ОВ координации отражают отношение численности двух частей единого целого, т. е. показывают, сколько единиц одной группы приходится в среднем на одну, на 10 или на 100 единиц другой изучаемой совокупности.
ОВ координации -
ОВ наглядности (сравнения) отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям (например, сравнивается годовая производительность труда по 2-м предприятиям)
ОВ сравнения -
Средние величины
Степенные средние общего типового расчета:
Средняя степенная простая - , - индивидуальное значение признака, по которому рассчитывается средняя, N – объем совокупности (число единиц)
СрЕдняя степенная взвешенная - , Fi – частота повторения индивидуального признака (=n)
Значе-ние k
|
Наименование средней
|
Формула средней
|
Простая
|
Средняя
|
-1
|
Гармоническая
|
|
,
|
0
|
Геометрическая
|
|
|
1
|
Арифметическая
|
|
,
|
2
|
Квадратическая
|
|
|
Гарм. < Геом < Арифм < Квадрат, x=w/f
Гармоническая простая – когда небольшая совокупность и индивидуальные значения не повторяются. Используется, если исчисляем среднюю из обратных величин.
Средняя квадратическая – для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков
Средняя геометрическая простая – для вычисления среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы.
Мода – значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности
, - нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой), - величина интервала, - частота в модальном интервале.
Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
- положение медианы
, - нижняя граница медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, - частота медианного интервала.
Квартель
,
,
Дециль
, (от 1/10 до 9/10)
Показатели вариации (колеблемости) признака
Среднее линейное отклонение – на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.
-для несгруппированных данных (первичного ряда):
-для вариационного ряда:
Среднее квадратическое отклонение
- для несгруппированных данных:
- для вариационного ряда:
Дисперсия
- для несгруппированных данных:
- для вариационного ряда:
Коэффициент вариации (используется для характеристики однородности совокупности по исследуемому признаку)
- до 17% – совокупность совершенно однородна, 17%-33% - достаточно однородна, >33% - неоднородна.
Сложение дисперсий
Величина общей дисперсии () характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности
, - общая средняя арифметическая для всей совокупности
Межгрупповая дисперсия () отражает систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки
,- средняя в каждой группе, - число единиц в каждой группе
Средняя внутригрупповая дисперсия () характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.
, где - дисперсия по отдельной группе
Или
Равенство:
Корреляционное отношение
, >0,5 – связь между групповым фактором и результирующим признаком – тесная, <0,5 – связь слабая
Показатель
асимметрии
, - центральный момент третьего порядка
Средняя квадратическая ошибка: , N – число наблюдений
Если , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если , асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.
- правосторонняя асимметрия, - левосторонняя асимметрия.
Показатель эксцесса (островершинности)
, - центральный момент четвертого порядка
>0 – высоковершинное, < 0 – низковершинное (= -2 – предел)
Средняя квадратическая ошибка: N – число наблюдений
Кривые распределения
Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.
Плотность распределения (расчет теоретических частот)
, - нормированное отклонение
, - определяется по таблице (приложение 1)
Критерий согласия К. Пирсона (Для проверки близости теоретического и эмпирического распределений, для проверки соответствия эмпирического распределения закону нормального распределения)
F – эмпирические частоты в интервале, F’ – теоретические частоты в интервале
Критерий согласия Романовского
, M – число групп, M-3 – число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения
Если к<3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения
Критерий Колмогорова
, D – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами, N – сумма эмпирических частот
Распределение Пуассона (теоретические частоты)
, N – общее число независимых испытаний, λ – среднее число появления редкого события в N одинаковых независимых испытаниях, M – частота данного события, е=2,71828
N – объем генеральной совокупности
N – объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку)
- генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)
- выборочная средняя
Р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности)
W – выборочная доля
- генеральная дисперсия
- выборочная дисперсия
- среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности
S – среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.
Неравенство Чебышеба
При неограниченном числе наблюдений, независящих друг от друга из генеральной совокупности с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет сколь угодно малой величиной .
Теорема Ляпунова
Дает количественную оценку ошибки. При неограниченном объеме из генеральной совокупности с Р расхождения выборочной и генеральной средней равна интегралу Лапласа
, - нормированная функция Лапласа (интеграл Лапласа)
Р – гарантированная вероятность
T – коэффициент доверия, зависящий от Р
Р
|
0,683
|
0,954
|
0,997
|
T
|
1
|
2
|
3
|
- предельная ошибка выборки
, - стандартная среднеквадратическая ошибка
, - предельная (максимально возможная) ошибка средней, T – коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки
, - предельная (максимально возможная) ошибка доли
Средняя ошибка (n>30) при случайной повторной выборке:
,
При случайной бесповторной выборке:
,
Формулы ошибок простой случайной выборки
|
Способ отбора единиц
|
Повторный
|
Бесповторный
|
Средняя ошибка μ:
Для средней
|
|
|
Для доли
|
|
|
Предельная ошибка Δ:
Для средней
|
|
|
Для доли
|
|
|
Доверительные интервалы для генеральной средней –
Доверительные интервалы для генеральной доли –
Доверительная вероятность – функция от t, вероятность находится по приложению3
Формулы для определения численности простой и случайной выборки
|
Способ отбора единиц
|
Повторный
|
Бесповторный
|
Численность выборки (n):
Для средней
|
|
|
Для доли*
|
|
|
*В случае, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w=0,5, то w(1-w)=0,25).
|
Типичная выборка
Применяется в тех случаях, когда из генеральной совокупности можно выделить однокачественные группы единиц (или однородные), затем из каждой группы случайно отобрать определенное число единиц в выборку.
Стандартная среднеквадратическая ошибка:
Повторный отбор - ,
- средняя из внутригрупповых
Бесповторный отбор -
Отбор единиц при типичной выборке из каждой типичной группы:
1.Равное число единиц , - число единиц, отобранных из I-ой типичной группы, N – общий объем, R – число групп
2.Пропорциональный отбор , - доля I-ой группы в общем объеме генеральной совокупности
3.Отбор единиц с учетом вариации случайного признака
Серийная выборка
Вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение.
Средняя стандартная ошибка:
Повторный отбор - , , M – число отобранных серий, - средний уровень признака в серии, - средний уровень признака для всей выборочной совокупности
Бесповторный отбор - , M – общее число серий
Малые выборки
Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n<30)
Средняя ошибка малой выборки ,
Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле , - значение функции Стьюдента (приложение 4)
Корреляционная связь
Для оценки однородности совокупности – коэффициент вариации по факторным признакам
, совокупность однородна, если ≤ 33%
Линейный коэффициент корреляции
Несгруппированные данные
Сгруппированные данные -
Оценка существенности линейного коэффициента корреляции
При большом объеме выборки , . Если это отношение больше значения t-критерия Стьюдента (приложение 6, k=n-2, вероятность – 1-α)
При недостаточно большом объеме выборки ,
Корреляционное отношение , , где , ,
Признаки
|
А(да)
|
(нет)
|
Итого
|
В (да)
|
A
|
B
|
A+b
|
(нет)
|
C
|
D
|
C+d
|
Итого
|
A+c
|
B+d
|
N
|
A, b,c, d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков, n – общая сумма частот
|
Коэффициент ассоциации
Коэффициент контингенции
Уравнение регрессии
Линейная
Гиперболичская
Параболическая
Показательная
Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность , если она <0,1 то можно применить линейную функцию.
,M – число групп. Если < F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице (приложение 5) α=0,05, число степеней свободы числителя (k1 = m-2) и знаменателя (k2 =n-m))
Достоверность уравнения корреляционной зависимости , - Средняя квадратическая ошибка, Y – фактические значения результативного признака, - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии, L – число параметров в уравнении регрессии.
Если это отношение не превышает 10-15%, то уравнение хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.
Ряды динамики
Показатели динамики
Показатель
|
Метод расчета
|
С переменной базой (цепные)
|
С постоянной базой (базисные)
|
Абсолютный прирост (показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
|
|
|
Коэффициент роста (показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
|
|
|
Темп роста, % (это коэффициент роста, выраженный в %, показывает, сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периоа)
|
|
|
Темп прироста, % (показывает, на сколько % уровень текущего периода больше (меньше) уровня базисного периода)
|
|
|
Абсолютное значение 1% прироста (показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста)
|
|
|
Средние показатели динамики
Показатель
|
Метод расчета
|
Средний уровень ряда
-Для интервального ряда
|
|
-Для моментального ряда с равными интервалами
|
|
-Для моментального ряда с неравными интервалами
|
|
Средний абсолютный прирост
|
Или
|
Средний коэффициент рост
|
Или
|
Средний темп роста, %
|
|
Средний темп прироста, %
|
Или
|
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста
|
|
Тренды
Линейный
Пусть =0, тогда если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) будут (-2, -1, 0, 1, 2). Если четное, то (-5, -3, -1, 1, 3, 5)
Семестр 2 (Индексы)
Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.
Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции
Индивидуальный индекс цен
Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции
Индивидуальный индекс стоимости продукции
Агрегатный индекс физического объема продукции (Относительное изменение физического объема продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным)
- характеризует абсолютное изменение физического объема в относительном выражении без влияния ценового фактора.
Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции , Iq – индивидуальный индекс по каждому виду продукции
Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции
Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции)
- абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен
Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен на потребительские товары)
Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции
Двухфакторный индекс
Связь:
Индекс планового задания
Индекс степени выполнения плана
Связь:
Изменение себестоимости продукта А по фирме , средняя себестоимость -
Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции , D0 – удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска продукта А
Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции -, за счет изменения цен на продукцию -
Абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции - , за счет среднего изменения себестоимости единицы продукции - .
Выработка - W = Q/T, W – выработка, Q – физический объем реализованной продукции/услуг, T – затраты живого труда (среднесписочная численность работников/рабочих)
Трудоемкость (показатель, обратный выработке) - t = 1/W = T/Q Трудоемкость характеризует величину затрат рабочего времени на единицу произведенной продукции.
Индекс динамики выработки переменного состава, определяющий отношение выработки отчетного периода к выработке базисного периода - Iw = W1/W0
Этот индекс характеризует изменение производительности труда под влиянием всех факторов, а именно: НТП, человеческого фактора (квалификация и т. п.) и др.
Индекс динамики трудоемкости - It = t1/t0
Индекс динамики трудоёмкости характеризует изменение трудоёмкости в отчетном периоде по сравнению с базисным, и его величина зависит от изменения трудоёмкости производимой продукции и от изменения объемов производства этой продукции.
IQ = IW * IT – система связанных индексов, которая позволяет определить влияние интенсивных и экстенсивных факторов на изменение объема продукции, услуг.
Среднегодовая стоимость основных фондов в базисном и отчетном годах - , - введенные в эксплуатацию фонды в течение года, - число месяцев эксплуатации фондов в данном году, - фонды, выбывшие из эксплуатации в течение года, - число месяцев, оставшихся до конца года после выбытия фондов из эксплуатации.
Фондоотдача -.
Фондоёмкость – показатель, обратный фондоотдаче, за базисный и отчетный годы по формуле
Индекс динамики фондоотдачи IVп. с.= = Этот индекс характеризует изменение фондоотдачи под влиянием всех факторов, включая НТП (новая техника, технология), человеческий фактор, структурный фактор, который на уровне АО может выражаться в изменении состава основных фондов в отчетном по сравнению с базисным годом.
Индекс динамики фондоемкости
Влияние интенсивного (качественного) и экстенсивного (количественного) факторов на абсолютное изменение физического объема продукции/услуг. Под экстенсивным фактором обычно понимают абсолютное изменение основных фондов. Под интенсивным – абсолютное изменение показателя фондоотдачи.
Влияние экстенсивного фактора:
Влияние интенсивного фактора:
Влияние обоих факторов:
Показатели фондовооруженности рабочих , - среднесписочная численность рабочих.
Индекс динамики фондовооруженности:
Коэффициент износа основных фондов на конец отчетного года
Износ фондов на конец отчетного года