УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАНИЯ Выпуклый анализ

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАНИЯ Выпуклый анализ

1.1. Пусть , . Показать, что для выпуклости X необходимо и достаточно, чтобы для любого из того, что точки принадлежат X, следовало, что , если и .

1.2. Пусть — выпуклое множество, A — матрица размера , . Показать, что следующие множества выпуклы:

а) .

б) .

1.3. Пусть , . Описать множества , .

1.4. Доказать выпуклость следующих множеств в R2: X=

};

1.5. Пусть , , . Показать, что замкнутое выпуклое множество.

1.6. Пусть и . Найти минимальное расстояние от до X, точку из X, ближайшую к .

1.7. Доказать, что только одна из приведенных ниже систем разрешима:

а) ;

б) .

(Указание: использовать теорему Фаркаша).

1.8. Доказать, используя теорему Фаркаша, что только одна из приведенных ниже систем разрешима:

а) ;

б) (A — — матрица).

1.9. Показать, что приведенные ниже системы имеют решения и , для которых :

а) ;

б) (A — — матрица).

1.10. Показать, что разрешима только одна из следующих систем:

а) ;

б) (A — — матрица).

1.11. Показать, что если система а) не имеет решения, то система б) разрешима:

а) , , ;

б)

(A — () — матрица, A — — матрица).

1.12. Пусть и - выпуклые множества в . Показать, что гиперплоскость, строго разделяющая и , существует тогда и только тогда, когда

1.13. Рассмотрим множество . Представить X в виде пересечения полупространств. Выписать эти полупространства в явном виде.

1.14. Пусть X — непустое множество в . Показать, что X тогда и только тогда является выпуклым конусом, когда из того, что , следует, что для .

1.15. Пусть X — непустое множество в и . Рассмотрим множество .

а) показать, что C — конус и проинтерпретировать это геометрически;

б) показать, что если X — выпуклое множество, то C также выпукло;

с) пусть X — замкнутое множество. Обязательно ли замкнуто C?

1.16. Пусть конус , где есть E — окрестность точки X*. Обозначим через K пересечение всех таких конусов, т. е. . Нарисовать конус K. (Это множество K называется конусом касательных к множеству X в точке X*).

1.17. Найти минимальное значение параметра С, при котором множество выпукло:

№№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	2	1	4	5	3	1	5	3	4	2
B		5				6	4	8	3	1
№№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	2	1	3	5	4	4	5	1	2	3
B		9	10	11	4	3	5	7	10	6

1.18. Доказать, что множество является выпуклым конусом и изобразить его на плоскости:

№№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	2	3	2	2	4	4	5	5	3	3
B	-7	4	-5	-5	-15	-11	-13	-17	-1	-8
С	6	-4	2	-3	9	-6	6	6	-4	4
№№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	2	3	3	5	5	6	2	2	6	4
B	-	-	-	-	-2	-1	7	-3	1	-5
C	-3	-4	-2	-4	-3	-5	3	-5	-5	-6

1.19. Найти минимальное значение параметра A, при котором множество

выпукло.

1.20. Записать уравнение гиперплоскости, строго отделяющей точку X*=(3,2,1,1)¢ от множества X, которое задается системой

№№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	6	3	-1	1	6	3	3	-1	7	8
B	-1	6	-1	4	0	0	2	4	1	0
C	-1	1	2	-1	-1	4	4	0	-1	1
№№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	2	2	-3	-2	7	4	9	4	-2	8
B	5	1	6	-2	-2	0	1	7	5	2
C	0	3	-1	3	1	5	0	-1	1	1
№№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
A	10	1	7	6	6	3	-6	9	8	10
B	-1	3	-2	0	4	6	3	4	7	4
C	-1	2	-1	5	8	0	-1	6	11	8

1.21. Записать уравнение гиперплоскости, опорной к множеству в точке X*=

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	-	0		0		0			0
		0		0			-	-	0	-
	0	3	4	4	3	0	4	0	-3	-4
№№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	0			0			0	-	-	0
		0	-		0		-	0	-	-
	-4	-4	0	-3	3	0	3	4	0	-3
№№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
		-	0	1	-	-	0	-		-
	0	0	2		0	0	-	-	0	0
		-		0	-3	-4	-3	0		-

Если точка X*ÏX, то выписать уравнение отделяющей гиперплоскости.

1.22. Выписать уравнение гиперплоскости, опорной к множеству и отделяющей его от точки X*=

№№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
№№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
			2	2	4		3	4	0
			1	1	3	1	1	0	3
			1	2	5	1	3	2	5
№№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
			1					1		1

1.23. Записать уравнение гиперплоскости, разделяющей множества , , где

№№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A		4		25		25	25			9
B		1	1	12		18	9			2
C		9		3		2	4			8
№№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A		25		9	25			25		1
B		2		8	3			4		4
C		18		2	12	1		9	5	1
№№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
A	5	9	16		10	7		1
B	4	1	1		5	2		3	1	3
C	1	3	5	3	2	3

1.24. Пусть и выпукло. Показать, что функция F(X), XÎX, вогнута тогда и только тогда, когда ее подграфик является выпуклым множеством.

1.25. Пусть X — непустое выпуклое множество в . Показать, что функция F(X), XÎX, выпукла тогда и только тогда, когда для и справедливо неравенство

.

1.26. Проверить, является ли функция F выпуклой (вогнутой) на заданном множестве X, или указать такие точки из X, в окрестности которых F не является ни выпуклой, ни вогнутой.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. .

39. .

40. .

41. .

42. .

43. .

44. .

45. .

46. .

47. .

48. .

49. .

50. .

51. .

52. .

53. .

54. .

1.27. Пусть функция F(X) непрерывна на и для каждой точки XÎ существует окрестность, в которой F(X) выпукла. Является ли F(X) выпуклой на ?

1.28. Пусть функция G(X), XÎ, вогнута. Показать, что функция F(X)=1/G(X) выпукла на множестве .

1.29. Пусть , — выпуклые функции. Показать, что функция выпукла. Доказать аналогичное утверждение для вогнутых функций.

1.30. Пусть , — выпуклые функции. Показать, что функция , выпукла.

1.31. Пусть X — непустое выпуклое множество в и . (Функция F(Y) задает расстояние от точки Y до множества X и называется функцией расстояния). Доказать, что F(Y) — выпуклая функция.

1.32. Пусть . Выписать в явном виде функцию расстояния от Y до множества X.

1.33. Пусть F(X), XÎ, — выпуклая функция. Показать, что функция H(X)=G(F(X)), XÎ, выпукла, если G — неубывающая выпуклая функция.

1.34. Пусть X — непустое ограниченное выпуклое множество в , F(Y), YÎ, — опорная функция множества X, определяемая следующим образом:

. Доказать, что функция F выпукла. Показать, что если F(Y)=Y¢X*, где X*ÎX, то X* — cубградиент функции F в точке Y.

1.35. Пусть , где . Выписать в явном виде опорную функцию, определенную в задаче 34.

1.36. Функция F(X), XÎ, называется калибровочной, если для всех XÎ и выполняется равенство . Калибровочная функция субаддитивна, если для любых .

Доказать, что для калибровочной функции субаддитивность эквивалентна выпуклости.

1.37. Пусть F(X), XÎ, — выпуклая функция. Показать, что X является субградиентом функции F в точке X* тогда и только тогда, когда гиперплоскость является опорной к надграфику функции F в точке (X*, F(X*)).

1.38. Пусть F — выпуклая на функция. Показать, что совокупность всех субградиентов функции F в данной точке образует выпуклое замкнутое множество.

1.39. Рассмотрим функцию F, определенную с помощью следующей задачи:

а) Показать, что функция F вогнута.

б) Вычислить значение F в точке (1,1).

с) Найти совокупность субградиентов функции F в точке (1,1).

1.40. Рассмотрим функцию . Показать, что если X=0, то X — субградиент функции F(X) в этой точке в том и только том случае, если . Если же , то X является субградиентом функции F в точке X тогда и только тогда, когда и .

1.41. Пусть F1(X), F2(X), XÎ, — дифференцируемые выпуклые функции, F(X)=max{ F1(X), F2(X)}, и X* такая, что F(X*)=F1(X*)=F2(X*). Показать, что вектор X является субградиентом функции F(X) в точке X* тогда и только тогда, когда , где . Обобщить это утверждение на конечное число функций.