11 | 12 | 2017

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАНИЯ Выпуклый анализ

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАНИЯ Выпуклый анализ

1.1. Пусть , . Показать, что для выпуклости X необходимо и достаточно, чтобы для любого из того, что точки принадлежат X, следовало, что , если и .

1.2. Пусть — выпуклое множество, A — матрица размера , . Показать, что следующие множества выпуклы:

а) .

б) .

1.3. Пусть , . Описать множества , .

1.4. Доказать выпуклость следующих множеств в R2: X=

};

1.5. Пусть , , . Показать, что замкнутое выпуклое множество.

1.6. Пусть и . Найти минимальное расстояние от до X, точку из X, ближайшую к .

1.7. Доказать, что только одна из приведенных ниже систем разрешима:

а) ;

б) .

(Указание: использовать теорему Фаркаша).

1.8. Доказать, используя теорему Фаркаша, что только одна из приведенных ниже систем разрешима:

а) ;

б) (A — матрица).

1.9. Показать, что приведенные ниже системы имеют решения и , для которых :

а) ;

б) (A — матрица).

1.10. Показать, что разрешима только одна из следующих систем:

а) ;

б) (A — матрица).

1.11. Показать, что если система а) не имеет решения, то система б) разрешима:

а) , , ;

б)

(A — () — матрица, A — матрица).

1.12. Пусть и - выпуклые множества в . Показать, что гиперплоскость, строго разделяющая и , существует тогда и только тогда, когда

1.13. Рассмотрим множество . Представить X в виде пересечения полупространств. Выписать эти полупространства в явном виде.

1.14. Пусть X — непустое множество в . Показать, что X тогда и только тогда является выпуклым конусом, когда из того, что , следует, что для .

1.15. Пусть X — непустое множество в и . Рассмотрим множество .

а) показать, что C — конус и проинтерпретировать это геометрически;

б) показать, что если X — выпуклое множество, то C также выпукло;

с) пусть X — замкнутое множество. Обязательно ли замкнуто C?

1.16. Пусть конус , где есть E — окрестность точки X*. Обозначим через K пересечение всех таких конусов, т. е. . Нарисовать конус K. (Это множество K называется конусом касательных к множеству X в точке X*).

1.17. Найти минимальное значение параметра С, при котором множество выпукло:

№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

2

1

4

5

3

1

5

3

4

2

B

5

6

4

8

3

1

№№

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

2

1

3

5

4

4

5

1

2

3

B

9

10

11

4

3

5

7

10

6

1.18. Доказать, что множество является выпуклым конусом и изобразить его на плоскости:


№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

2

3

2

2

4

4

5

5

3

3

B

-7

4

-5

-5

-15

-11

-13

-17

-1

-8

С

6

-4

2

-3

9

-6

6

6

-4

4

№№

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

2

3

3

5

5

6

2

2

6

4

B

-

-

-

-

-2

-1

7

-3

1

-5

C

-3

-4

-2

-4

-3

-5

3

-5

-5

-6

1.19. Найти минимальное значение параметра A, при котором множество

выпукло.

1.20. Записать уравнение гиперплоскости, строго отделяющей точку X*=(3,2,1,1)¢ от множества X, которое задается системой

№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

6

3

-1

1

6

3

3

-1

7

8

B

-1

6

-1

4

0

0

2

4

1

0

C

-1

1

2

-1

-1

4

4

0

-1

1

№№

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

2

2

-3

-2

7

4

9

4

-2

8

B

5

1

6

-2

-2

0

1

7

5

2

C

0

3

-1

3

1

5

0

-1

1

1

№№

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

A

10

1

7

6

6

3

-6

9

8

10

B

-1

3

-2

0

4

6

3

4

7

4

C

-1

2

-1

5

8

0

-1

6

11

8

1.21. Записать уравнение гиперплоскости, опорной к множеству в точке X*=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-

-

0

0

0

0

0

0

-

-

0

-

0

3

4

4

3

0

4

0

-3

-4

№№

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0

0

0

-

-

0

0

-

0

-

0

-

-

-4

-4

0

-3

3

0

3

4

0

-3

№№

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

-

0

1

-

-

0

-

-

0

0

2

0

0

-

-

0

0

-

0

-3

-4

-3

0

-

Если точка XX, то выписать уравнение отделяющей гиперплоскости.

1.22. Выписать уравнение гиперплоскости, опорной к множеству и отделяющей его от точки X*=

№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


№№

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2

2

4

3

4

0

1

1

3

1

1

0

3

1

2

5

1

3

2

5

№№

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1

1

1

1.23. Записать уравнение гиперплоскости, разделяющей множества , , где

№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

4

25

25

25

9

B

1

1

12

18

9

2

C

9

3

2

4

8

№№

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

25

9

25

25

1

B

2

8

3

4

4

C

18

2

12

1

9

5

1

№№

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

A

5

9

16

10

7

1

B

4

1

1

5

2

3

1

3

C

1

3

5

3

2

3

1.24. Пусть и выпукло. Показать, что функция F(X), XÎX, вогнута тогда и только тогда, когда ее подграфик является выпуклым множеством.

1.25. Пусть X — непустое выпуклое множество в . Показать, что функция F(X), XÎX, выпукла тогда и только тогда, когда для и справедливо неравенство

.

1.26. Проверить, является ли функция F выпуклой (вогнутой) на заданном множестве X, или указать такие точки из X, в окрестности которых F не является ни выпуклой, ни вогнутой.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. .

39. .

40. .

41. .

42. .

43. .

44. .

45. .

46. .

47. .

48. .

49. .

50. .

51. .

52. .

53. .

54. .

1.27. Пусть функция F(X) непрерывна на и для каждой точки XÎ существует окрестность, в которой F(X) выпукла. Является ли F(X) выпуклой на ?

1.28. Пусть функция G(X), XÎ, вогнута. Показать, что функция F(X)=1/G(X) выпукла на множестве .

1.29. Пусть , — выпуклые функции. Показать, что функция выпукла. Доказать аналогичное утверждение для вогнутых функций.

1.30. Пусть , — выпуклые функции. Показать, что функция , выпукла.

1.31. Пусть X — непустое выпуклое множество в и . (Функция F(Y) задает расстояние от точки Y до множества X и называется функцией расстояния). Доказать, что F(Y) — выпуклая функция.

1.32. Пусть . Выписать в явном виде функцию расстояния от Y до множества X.

1.33. Пусть F(X), XÎ, — выпуклая функция. Показать, что функция H(X)=G(F(X)), XÎ, выпукла, если G — неубывающая выпуклая функция.

1.34. Пусть X — непустое ограниченное выпуклое множество в , F(Y), YÎ, — опорная функция множества X, определяемая следующим образом:

. Доказать, что функция F выпукла. Показать, что если F(Y)=Y¢X*, где XX, то X* — cубградиент функции F в точке Y.

1.35. Пусть , где . Выписать в явном виде опорную функцию, определенную в задаче 34.

1.36. Функция F(X), XÎ, называется калибровочной, если для всех XÎ и выполняется равенство . Калибровочная функция субаддитивна, если для любых .

Доказать, что для калибровочной функции субаддитивность эквивалентна выпуклости.

1.37. Пусть F(X), XÎ, — выпуклая функция. Показать, что X является субградиентом функции F в точке X* тогда и только тогда, когда гиперплоскость является опорной к надграфику функции F в точке (X*, F(X*)).

1.38. Пусть F — выпуклая на функция. Показать, что совокупность всех субградиентов функции F в данной точке образует выпуклое замкнутое множество.

1.39. Рассмотрим функцию F, определенную с помощью следующей задачи:

а) Показать, что функция F вогнута.

б) Вычислить значение F в точке (1,1).

с) Найти совокупность субградиентов функции F в точке (1,1).

1.40. Рассмотрим функцию . Показать, что если X=0, то X — субградиент функции F(X) в этой точке в том и только том случае, если . Если же , то X является субградиентом функции F в точке X тогда и только тогда, когда и .

1.41. Пусть F1(X), F2(X), XÎ, — дифференцируемые выпуклые функции, F(X)=max{ F1(X), F2(X)}, и X* такая, что F(X*)=F1(X*)=F2(X*). Показать, что вектор X является субградиентом функции F(X) в точке X* тогда и только тогда, когда , где . Обобщить это утверждение на конечное число функций.